Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp QUY NẠP

Phương pháp quy nạp chuyên trị chứng minh các biểu thức mang tính quy luật

Hãy cùng xem 1 bài toán dưới đây

Chứng Minh bằng phương pháp quy nạp

Bước 1: Chứng minh phương trình đúng ở giá trị n=1

cho n=1. Ta có

1. 2·2 = 2² ⟹ Đúng
2. 1 < 2¹ ⟹ Đúng

Vậy phương trình đúng ở n=1

Bước 2: Chứng mình phương trình đúng ở 2 giá trị n liên tiếp.

Giả sử phương trình đúng ở n=k để từ đó chúng ta chứng minh nó đúng ở n=k+1

Vậy cứ xem phương trình đúng với n = k là phương trình (1)

2·2 + 3·2² + 4·2³ +···+ (k+1)·2^k  = k·2^k+1  (1)

từ đó chứng mình nó đúng với n = k+1 là phương trình (2)

2·2 + 3·2² + 4·2³ +···+ (k+2)·2^k+1  = (k+1)·2^k+2 (2)

Giải quyết

Phương trình (1): Cộng 2 vế cho (k+2)·2^k+1 để cho vế trái phương trình (1) bằng với phương trình (2). Từ đó chứng minh vế phải của phương trình vừa cộng thêm bằng với vế phải của phương trình (2)

Sau khi cộng thêm, vế phải của (1) giờ là k·2^k+1 + (k+2)·2^k+1. Chúng ta sẽ triển khai cho nó bằng với vế phải phương trình (2)

k·2^k+1 + (k+2)·2^k+1 ⟹ k·2^k+1 + k·2^k+1 + 2·2^k+1 ⟹  2·k·2^k+1 + 2·2^k+1 ⟹ (k+1)·2·2^k+1 ⟹ (k+1)·2^k+2

Kết quả của phần triển khai (1) đã ra giống với phương trình (2)

Như vậy từ (1) ta có thể suy ra được (2). Vậy nếu biếu thức đúng ở n=k thì nó sẽ đúng ở n=k+1 (với k là số nguyên bất kỳ lớn hơn 1)

Kết luận

Vậy nếu biểu thức đúng với n=1 thì sẽ đúng với n=2, nếu đúng với n= 2 thì sẽ đúng với n=3…..4,5,6,…  vậy biểu thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1